La palabra correcta es Desfallecimientos. Sin Embargo Desfayecimientos se trata de un error ortográfico.
La Palabra desfayecimientos es una error ortográfica de la palabra desfallecimientos en la que se ha cambiado la letra u por la ü o viceversa, esto es falta o sobra la diéresis sobre una de sus vocales u de la palabra correcta que es desfallecimientos

El Español es una gran familia
Se escribe LL:
Se escribe ll en las palabras que terminan en -illo, -illa. Por ejemplo: librillo, ventanilla.
Se escriben con y algunos tiempos y personas de los verbos cuyos infinitivos terminan en -uir:
Presente del Modo Indicativo
Ejemplos: construyo, influyes, huyo.
Excepciones: Nunca se escriben con y la primera y segunda personas del plural: huimos, construís, influimos.
Modo Imperativo
Ejemplo: construye, influye, influyamos, construya
Tercera persona del singular y del plural del pretérito indefinido.
Ejemplos: influyó, influyeron, construyó, construyeron
Modo subjuntivo.
Ejemplos: influya, construyera, influyere
Se escriben con y algunas formas de los verbos caer, leer, oír.
Ejemplos: cayó, leyeras, oyes

la Ortografía es divertida
Desfallecimientos en la RAE.
Desfallecimientos en Word Reference.
Desfallecimientos en la wikipedia.
Sinonimos de Desfallecimientos.
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